1. Định nghĩa
Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α'). Trên (α) ta lấy đa giác lồi A1 A2…An, qua các đỉnh này ta dựng các đường thẳng song song cắt (α') tại A'1,A'2,…A'n. Hình bao gồm 2 đa giác A1 A2…An, A'1 A'2…A'n và các hình bình hành A1 A2 A'1 A'2,… được gọi là hình lăng trụ, kí hiệu là A1 A2…An A'1 A'2…A'n.
Nhận xét:
+ Các mặt bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau
+ Các mặt bên là các hình bình hành
+ Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau
2. Hình lăng trụ đứng - hình lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật và hình lập phương
a) Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ. Lúc đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật
b) Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều... thì ta hiểu là hình lăng trụ đều
c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành
d) Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành
e) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật
f) Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là hình lập phương)
Nhận xét:
+ Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng (Có tất cả các mặt là hình chữ nhật
+ Hình lập phương là hình lăng trụ đều (tất cả các cạnh bằng nhau)
+ Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng (mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là hình bình hành)
3. Thể tích khối lăng trụ:
V=B.h : Với B là diện tích đáy và h là chiều cao
4. So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:
| ĐỊNH NGHĨA: | TÍNH CHẤT |
| + Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy |
+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật + Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy + Chiều cao là cạnh bên |
| + Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều |
+ Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau + Chiều cao là cạnh bên |
5. Cách tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Khối lăng trụ đứng
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Tính chất:
+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật
+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên
2. Khối lăng trụ đều
Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Tính chất:
+ Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau
+ Chiều cao là cạnh bên.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’
Lời giải:
Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Thể tích của khối chóp M.A’B’C’ là:
Lời giải:
Bài 3: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có BA = BC = 2a, biết A1 M=3a với M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1 B1 C1
Lời giải:
Ta có:
6. Cách tính thể tích khối lăng trụ xiên
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Hình lăng trụ xiên là hình lăng trụ có cạnh bên không vuông góc với đáy.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ∆ABC đều có cạnh bằng a, AA’ = a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB, O là tâm của tam giác đều ABC.
Do A’ cách đều các điểm A, B, C nên A'O ⊥ (ABC)
Tam giác ABC đều cạnh a nên:
Xét ∆A’AO vuông tại O có:
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ∠(ACB) =300; M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Lời giải:
A'H ⊥ (ABC) nên A’H là đường cao của lăng trụ
AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên mặt (ABC) nên góc giữa AA’ và (ABC) là góc (A'AH)=600
∆ABC vuông tại B có AB = a, ∠(ACB)=300
BM là trung tuyến
⇒BM=AM=AC/2=a
⇒BM=AM=AB=a
Do đó ∆ABM đều cạnh a có AH ⊥ BM
⇒AH=(a√3)/2
Xét tam giác AA’H có:
Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a√3, BC = 3a, ∠(ACB)=300. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho HC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Lời giải:
⇒AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABCD)
Khi đó góc giữa AA’ và (ABCD) là góc (A'AH) =600
Ta có: BC = 3a, HC = 3BH ⇒ HC=9a/4
Xét tam giác ACH có:
Xét tam giác AA’H có:
7. Mọi người cũng hỏi
Làm thế nào để tính thể tích của một khối lăng trụ?
Trả lời: Để tính thể tích khối lăng trụ, ta sử dụng công thức: Thể tích = Diện tích đáy × Chiều cao. Trong đó, diện tích đáy là diện tích hình bình hành hay hình chữ nhật, và chiều cao là khoảng cách giữa hai đáy.
Thể tích khối lăng trụ có liên quan gì đến hình bình hành đáy?
Trả lời: Thể tích khối lăng trụ phụ thuộc vào diện tích đáy, tức là diện tích hình bình hành đáy của lăng trụ. Đây là diện tích mà chúng ta nhân với chiều cao để tính thể tích.
Có bao nhiêu loại khối lăng trụ thường gặp và cách tính thể tích của chúng như thế nào?
Trả lời: Có hai loại khối lăng trụ thường gặp: lăng trụ có đáy hình vuông và lăng trụ có đáy hình chữ nhật. Thể tích của chúng được tính bằng cách nhân diện tích đáy với chiều cao.
Tại sao việc tính thể tích khối lăng trụ quan trọng trong hình học và thực tế?
Trả lời: Tính thể tích khối lăng trụ giúp xác định khối lượng vật thể, tính diện tích và dung tích trong các ứng dụng thiết kế, xây dựng và khoa học tự nhiên.
