Hằng đẳng thức kỷ niệm là phần kiến thức và kỹ năng cần thiết tuy nhiên những em cần thâu tóm được nhằm vận dụng trong số dạng bài xích tập dượt nhập lịch trình toán 8 và những cung cấp sau đây. Hằng đẳng thức kỷ niệm là kiến thức và kỹ năng cơ phiên bản, là nền tảng cần thiết nhập quy trình học tập toán ở bậc trung học cơ sở.
1. Các hằng đẳng thức kỷ niệm nhập lịch trình toán 8
1.1 Bình phương của một tổng, một hiệu
- Với nhị biểu thức tùy ý A và B, tao có:
Bạn đang xem: Hằng đẳng thức đáng nhớ|Toán 8 Chương trình mới
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
Ví dụ: ( x + 2)2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4
1.2 Hiệu của nhị bình phương
- Với nhị biểu thức tùy ý A và B, tao có:
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
Ví dụ: x2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
1.3 Lập phương của một tổng, một hiệu
- Với nhị biểu thức tùy ý A và B, tao có:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
Ví dụ: (x - 2y)3 = x3 - 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 - (2y)3
= x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3
1.4 Tổng và hiệu của nhị lập phương
- Với nhị biểu thức tùy ý A và B, tao có:
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)
>> Xem thêm: Tổng hợp ý kiến thức và kỹ năng toán 8 cụ thể SGK mới
2. Bài tập dượt về những hằng đẳng thức xứng đáng nhớ
2.1 Bài tập dượt về những hằng đẳng thức kỷ niệm sách cánh diều
Bài 1 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều
a) 4x2 + 28x + 49 = (2x)2 + 2 . 2x . 7 + 72 = (2x + 7)2;
b) 4a2 + 20ab + 25b2 = (2a)2 + 2 . 2a . 5b + (5b)2 = (2a + 5b)2;
c) 16y2 – 8y + 1 = (4y)2 – 2 . 4y . 1 + 12 = (4y – 1)2;
d) 9x2 – 6xy + y2 = (3x)2 – 2 . 3x . hắn + y2 = (3x – y)2.
Bài 2 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều
a) a3 +12a2 + 48a + 64 = a3 + 3 . a2 . 4 + 3 . a . 42 + 43 = (a + 4)3;
b) 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3
= (3x)3 + 3 . (3x)2 . 2y + 3 . 3x . (2y)2 + (2y)3
= (3x + 2y)3;
c) x3 – 9x2 + 27x – 27 = x3 – 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 – 33 = (x – 3)3;
d) 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 = (2a)3 – 3 . (2a)2b + 3 . 2ab2 – b3 = (2a – b)3.
Bài 3 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều
a) 25x2 – 16 = (5x)2 – 42 = (5x + 4)(5x – 4);
b) 16a2 – 9b2 = (4a)2 – (3b)2 = (4a + 3b)(4a – 3b);
c) 8x3 + 1 = (2x)3 + 1 = (2x + 1)[(2x)2 – 2x . 1 + 12] = (2x + 1)(4x2 – 2x + 1);
d) 125x3 + 27y3 = (5x)3 + (3y)3 = (5x + 3y)[(5x)2 – 5x . 3y + (3y)2]
= (5x + 3y)(25x2 – 15xy + 9y2);
e) 8x3 – 125 = (2x)3 – 53 = (2x – 5)[(2x)2 + 2x . 5 + 52]
= (2x – 5)(4x2 + 10x + 25);
g) 27x3 – y3 = (3x)3 – y3 = (3x – y)[(3x)2 + 3x.hắn + y2].
Bài 4 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều
a) Ta với A = x2 + 6x + 10 = x2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)2 + 1.
Thay x = −103 nhập biểu thức A, tao được:
A = (−103 + 3)2 + 1 = (−100)2 + 1 = 10 000 + 1 = 10 001.
Vậy A = 10 001 bên trên x = −103.
b) Ta với B = x3 + 6x2 + 12x + 12 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 + 4
= (x + 2)3 + 4.
Thay x = 8 nhập biểu thức B, tao được:
B = (8 + 2)3 + 4 = 103 + 4 = 1004.
Vậy B = 1004 bên trên x = 8.
Bài 5 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều
a) Ta với C = (3x – 1)2 + (3x + 1)2 – 2(3x – 1)(3x + 1)
= [(3x – 1) – (3x + 1)]2= (3x – 1 – 3x – 1)2
= (– 1 – 1)2= (–2)2= 4.
Vậy biểu thức C ko tùy theo đổi mới x.
b) D = (x + 2)3 – (x – 2)3 – 12(x2 + 1)
= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)2 + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)2] – 12(x2 + 1)
= (x + 2 – x + 2)[(x + 2)2 + x2 – 22 + (x – 2)2] – 12x2 – 12
= 4(x2 + 4x + 4 + x2 – 4 +x2– 4x + 4) – 12x2 – 12
= 4(3x2 + 4) – 12x2 – 12
= 12x2 + 16 – 12x2 – 12 = 4.
Vậy biểu thức D ko tùy theo đổi mới x.
c) E = (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (x – 2)(x2 + 2x + 4)
= (x3 + 33) – (x3 – 23) = x3 + 27 – x3+ 8 = 35.
Vậy biểu thức E ko tùy theo đổi mới x.
d) G = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8(x + 2)(x2 – 2x + 4)
= [(2x)3 – 13]– 8(x3 + 23) = (8x3 – 1) – 8(x3 + 8)
= 8x3 – 1–8x3 – 64 = – 65.
Vậy biểu thức D ko tùy theo đổi mới x.
Bài 6 trang 23 SGK Toán 8/1 Cánh diều
Ta với (0,76)3 + (0,24)3 + 3 . 0,76 . 024
= (0,76 + 0,24)3 – 3 . 0,76 . 024 . (0,76 + 024) + 3 . 0,76 . 024
= 13 – 3 . 0,76 . 024 . 1 + 3 . 0,76 . 024
= 1 – 3 . 0,76 . 024 + 3 . 0,76 . 024 = 1.
Vậy (0,76)3 + (0,24)3 + 3 . 0,76 . 024 = 1.
2.2 Bài tập dượt về những hằng đẳng thức kỷ niệm sách chân mây sáng sủa tạo
Bài 1 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) (3x + 4)2
= (3x)2 + 2.3x.4 + 42
= 9x2 + 24x + 16.
b) (5x – y)2
= (5x)2 – 2.5x.hắn + y2
= 25x2 – 10xy + y2.
c.
Bài 2 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) x2 + 2x + 1 = x2 + 2.x.1 + 12 = (x + 1)2.
b) 9 – 24x + 16x2 = 32 – 2.3.4x + (4x)2 = (3 – 4x)2
c.
Bài 3 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) (3x – 5)(3x + 5) = (3x)2 – 52 = 9x2 – 25.
b) (x – 2y)(x + 2y) = x2 – (2y)2 = x2 – 4y2.
c.
Bài 4 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) Biểu thức tính diện tích S của hình vuông vắn với cạnh vì thế 2x + 3 là:
(2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 + 12x + 9.
b) Biểu thức tính thể tích của khối lập phương với cạnh vì thế 3x − 2 là:
(3x – 2)3 = (3x)3 – 3.(3x)2.2 + 3.3x.22 – 23
= 27x3 – 54x2 + 36x – 8.
Bài 5 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) 38 . 42 = (40 – 2).(40 + 2) = 402 – 22 = 1 600 – 4 = 1 596.
b) 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2.100.2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
c) 1982 = (200 – 2)2 = 2002 – 2.200.2 + 22 = 40 000 – 800 + 4 = 39 204.
d) 752 – 252 = (75 + 25).(75 – 25) = 100 . 50 = 5 000.
Bài 6 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 8.
b) (a + 3b)3 = a3 + 3.a2.3b + 3.a.(3b)2 + (3b)3 = a3 + 9a2b + 27ab2 + 27b3.
c) (xy –1)3 = (xy)3 – 3.(xy)2.1 + 3.xy.12 – 13 = x3y3 – 3x2y2 + 3xy – 1.
Bài 7 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) (a – 5)(a2 + 5a + 25) = (a – 5)(a2 + a.5 + 52) = a3 – 53 = a3 – 125.
b) (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) = (x + 2y).[x2 – x.2y + (2y)2] = x3 + (2y)3 = x3 + 8y3.
Bài 8 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) (a – 1)(a + 1)(a2 + 1) = (a2 – 1)(a2 + 1) = (a2)2 – 12 = a4 – 1.
b) (xy + 1)2 – (xy – 1)2 = [(xy + 1) + (xy – 1)].[(xy + 1) – (xy – 1)]
= [xy + 1 + xy – 1].[xy + 1 – xy + 1] = 2xy.2 = 4xy.
Bài 9 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
a) Ta có: (x − y)2 = x2 – 2xy + y2 = x2 + 2xy + y2 – 4xy = (x + y)2 – 4xy
Thay x + hắn = 12 và xy = 35 nhập biểu thức bên trên tao có:
(x − y)2 = 122 – 4.35 = 144 – 140 = 4.
Xem thêm: Cách Đổi Vé Máy Bay Vietnam Airlines 2024 Nhanh, Chi Tiết Nhất
b) Ta có: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = x2 – 2xy + y2 + 4xy = (x – y)2 + 4xy
Thay x – hắn = 8 và xy = đôi mươi nhập biểu thức bên trên tao có:
(x + y)2 = 82 + 4.đôi mươi = 64 + 80 = 144.
c) Ta có: x3 + y3 = (x + y).(x2 – xy + y2) = (x + y).(x2 + 2xy + y2 – 3xy)
= (x + y).[(x + y)2 – 3xy]
Thay x + hắn = 5 và xy = 6 nhập biểu thức bên trên tao có:
x3 + y3 = 5.(52 – 3.6) = 5.(25 – 18) = 5.7 = 35.
d) Ta có: x3 – y3 = (x – y).(x2 + xy + y2) = (x – y).(x2 – 2xy + y2 + 3xy)
= (x – y).[(x – y)2 + 3xy]
Thay x – hắn = 3 và xy = 40 nhập biểu thức bên trên tao có:
x3 – y3 = 3.(32 – 3.40) = 3.(9 – 120) = 5.(–111) = –555.
Bài 10 trang 22 SGK toán 8/1 Chân trời sáng sủa tạo
Hình vỏ hộp chữ nhật có rất nhiều lâu năm, rộng lớn, cao đều vì thế 5 rất có thể tích là:
53 = 125 (cm3).
a) Chiều lâu năm của hình vỏ hộp chữ nhật sau khoản thời gian gia tăng a centimet là: 5 + a (cm).
Chiều rộng lớn của hình vỏ hộp chữ nhật sau khoản thời gian gia tăng a centimet là: 5 + a (cm).
Thể tích hình vỏ hộp chữ nhật khi sau là:
(5 + a).(5 + a).5 = (5 + a)2.5 = (52 + 2.5.a + a2).5 = (25 + 10a + a2).5
= 25.5 + 10a.5 + a2.5 = 125 + 50a + 5a2 (cm3).
Khi bại thể tích của hình vỏ hộp chữ nhật đã tiếp tục tăng tăng là:
125 + 50a + 5a2 – 125 = 5a2 + 50a (cm3).
Vậy nếu như chiều lâu năm và chiều rộng lớn gia tăng a centimet thì thể tích của hình vỏ hộp chữ nhật đã tiếp tục tăng tăng 5a2 + 50a (cm3).
b) Chiều cao của hình vỏ hộp chữ nhật sau khoản thời gian gia tăng a centimet là: 5 + a (cm).
Thể tích hình vỏ hộp chữ nhật khi sau là:
(5 + a).(5 + a).(5 + a) = (5 + a)3 = 53 + 3.52.a + 3.5.a2 + a3 = 125 + 75a + 15a2 + a3 (cm3).
Khi bại thể tích của hình vỏ hộp chữ nhật đã tiếp tục tăng tăng là:
125 + 75a + 15a2 + a3 – 125 = a3 + 15a2 + 75a (cm3).
Vậy nếu như chiều lâu năm, chiều rộng lớn, độ cao đều gia tăng a centimet thì thể tích của hình vỏ hộp chữ nhật đã tiếp tục tăng tăng a3 + 15a2 + 75a (cm3).
2.3 Bài tập dượt về những hằng đẳng thức kỷ niệm sách liên kết tri thức
Bài 2.1 trang 33 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) Đẳng thức x + 2 = 3x + 1 ko cần là hằng đẳng thức vì thế khi x = 0 thì sản phẩm ở vế trái ngược vì thế 2, vế cần vì thế 1, khi bại sản phẩm của nhị vế ko vì thế nhau;
b) Đẳng thức 2x(x + 1) = 2x2 + 2x là hằng đẳng thức;
c) Đẳng thức (a + b)a = a2 + tía là hằng đẳng thức;
d) Đẳng thức a – 2 = 2a + 1 ko cần là hằng đẳng thức vì thế khi x = 2 thì sản phẩm ở vế trái ngược vì thế 0, vế cần vì thế 5, khi bại sản phẩm của nhị vế ko đều nhau.
Bài 2.2 trang 33 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a. 9y2
b. x2
c. 16y2 / x
d. 4x2 / 3y
Bài 2.3 trang 33 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) 54 . 66 = (60 – 6)(60 + 6) = 602 – 62
= 3 600 – 36 = 3564;
b) 2032 = (200 + 3)2 = 2002 + 2 . 200 . 3 + 32
= 40 000 + 1 200 + 9 = 41 209.
Bài 2.4 trang 33 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2 . x . 2 + 22 = (x + 2)2;
b) 16a2 – 16ab + 4b2 = (4a)2 – 2 . 4a . 2b + (2b)2 = (4a – 2b)2.
Bài 2.5 trang 33 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) (x – 3y)2 – (x + 3y)2 = [(x – 3y) + (x + 3y)] [(x – 3y) – (x + 3y)]
= (x – 3y + x + 3y)(x – 3y – x – 3y) = 2x . (–6y) = –12xy;
b) (3x + 4y)2 + (4x – 3y)2
= (3x)2 + 2 . 3x . 4y + (4y)2 + (4x)2 – 2 . 4x . 3y + (3y)2
= (3x)2 + (4y)2 + (4x)2 + (3y)2 = 9x2 + 16y2 + 16x2 + 9y2
= 25x2 + 25y2.
Bài 2.6 trang 33 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
Ta với (n + 2)2 – n2 = (n + 2 – n)(n + 2 + n) = 2(2n + 2) = 4n + 4 = 4(n + 1)
Vì n là số đương nhiên nên n + 1 cũng chính là số tự động nhiên
Và 4 ⋮ 4 nên 4(n + 1) ⋮ 4.
Vậy với từng số đương nhiên n, tao với (n + 2)2 – n2 chia không còn cho tới 4.
Ta với (n + 2)2 – n2 = (n + 2 – n)(n + 2 + n) = 2(2n + 2) = 4n + 4 = 4(n + 1)
Vì n là số đương nhiên nên n + 1 cũng chính là số tự động nhiên
Và 4 ⋮ 4 nên 4(n + 1) ⋮ 4.
Vậy với từng số đương nhiên n, tao với (n + 2)2 – n2 phân tách không còn cho tới 4.
Bài 2.7 trang 36 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a.
= x6 + 3.x4.2y + 3.x2.4y2 + 8y3
= x6 + 6x4y + 12x2y2 + 8y3.
b.
Bài 2.8 trang 36 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) 27 + 54x + 36x2 + 8x3
= 33 + 3 . 32 . 2x + 3 . 3 . (2x)2 + (2x)3
= (3 + 2x)3;
b) 64x3 – 144x2y + 108xy2 – 27y3
= (4x)3 – 3 . (4x)2 . 3y + 3 . 4x . (3y)2 – (3y)3
= (4x – 3y)3.
Bài 2.9 trang 36 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27
= x3 + 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 + 33 = (x + 3)3.
Thay x = 7 nhập biểu thức (x + 3)3, tao được:
(7 + 3)3 = 103 = 1 000.
b) Ta với 27 – 54x + 36x2 – 8x3
= 33 – 3 . 32 . 2x + 3 . 3 . (2x)2 – (2x)3
= (3 – 2x)3.
Thay x = 6,5 nhập biểu thức (3 – 2x)3, tao được:
(3 – 2 . 6,5)3 = (3 – 13)3 = (–10)3 = –1 000.
Bài 2.10 trang 36 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) (x – 2y)3 + (x + 2y)3
= x3 – 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 + x3 + 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 + (2y)3
= x3 – 6x2y + 12xy2– 8y3 + x3 + 6x2y + 12xy2+ 8y3
= (x3 + x3) + (6x2y – 6x2y) + (12xy2+ 12xy2) + (8y3 – 8y3)
= 2x3 + 24xy2.
b) (3x + 2y)3 + (3x – 2y)3
= (3x)3 + 3 . (3x)2 . 2y + 3 . 3x . (2y)2 + (2y)3 + (3x)3 – 3 . (3x)2 . 2y + 3 . 3x . (2y)2 – (2y)3
= (3x)3 + 3 . 3x . (2y)2 + (3x)3 + 3 . 3x . (2y)2
= 27x3 + 36xy2 + 27x3 + 36xy2
= 54x3 + 72xy2.
Bài 2.11 trang 36 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
Ta có
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3;
• – (b – a)3 = – (b3 – 3b2a + 3ba2 – a3)
= – b3 + 3b2a – 3ba2 + a3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Vậy (a – b)3 = – (b – a)3.
Bài 2.12 trang 39 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) (x + 4)(x2 – 4x + 16) = (x + 4)(x2 – x . 4 + 42) = x3 + 43 = x3 + 64;
b) (4x2 + 2xy + y2)(2x – y) = (2x – y)[(2x)2 + 2xy + y2]
= (2x)3 – y3 = 8x3 – y3.
Bài 2.13 trang 39 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a. 8x
b. 3x / 9x2
Bài 2.14 trang 39 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
a) 27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)[(3x)2 – 3x . hắn + y2]
= (3x + y)(9x2 – 3xy + y2).
b) x3 – 8y3 = x3 – (2y)3
= (x – 2y)[x2 + x . 2y + (2y)2]
= (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).
Bài 2.15 trang 39 SGK Toán 8/1 liên kết tri thức
(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) + (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)
Xem thêm: Bản vẽ chi tiết là gì? 8 ứng dụng, ưu và nhược điểm của nó
= x3 – (2y)3 + x3 + (2y)3 = (x3 + x3) + [(2y)3 – (2y)3]
= x3 + x3 = 2x3.
Trên đấy là những kiến thức và kỹ năng về các hằng đẳng thức xứng đáng nhớ cùng chỉ dẫn giải bài xích tập dượt nhập sách giáo khoa toán 8 liên kết học thức, chân mây tạo nên và cánh diều. Để lần hiểu tăng những bài học kinh nghiệm nhập lịch trình toán 8, những em hãy theo đuổi dõi những nội dung bài viết mới mẻ của VUIHOC mỗi ngày nhé!
Bình luận